曲げ＋ねじりの合成応力とは？軸設計で必須の計算方法と実務での注意点をわかりやすく解説

軸設計で必須の計算方法と実務での注意点を解説

回転軸・シャフト設計では、曲げ応力だけ／ねじり応力だけで設計するのは危険です。
実際の軸には多くの場合、

• 荷重による 曲げ
• 動力伝達による ねじり

が 同時に作用 しています。

この記事では、
曲げ＋ねじり合成応力（ミーゼス応力） の考え方と計算方法を、
設計現場でそのまま使えるレベルで解説します。

---

1. なぜ「合成応力」で評価する必要があるのか？

よくあるNG設計

• 曲げ応力 → OK
• ねじり応力 → OK
  → なのに軸が折れる

原因はシンプルで、
応力は別々に作用せず「同時に重なって」材料を壊すからです。

そのため実務では、

曲げ応力 + ねじり応力を合成した等価応力

で評価する必要があります。

---

2. 曲げ応力・ねじり応力のおさらい

曲げ応力 σ

$$\sigma = \frac{M}{Z}$$σ=ZM​

• $M$M：曲げモーメント [N·mm]
• $Z$Z：断面係数 [mm³]

---

ねじり応力 τ

$$\tau = \frac{T}{Z_p}$$τ=Zp​T​

• $T$T：トルク [N·mm]
• $Z_p$Zp​：極断面係数 [mm³]

---

3. 曲げ＋ねじり合成応力（ミーゼス応力）

ミーゼス相当応力の式

$$\sigma_e = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2}$$σe​=σ2+3τ2​

• $\sigma$σ：曲げ応力
• $\tau$τ：ねじり応力
• $\sigma_e$σe​：合成応力（等価応力）

👉 この σe を材料の許容応力と比較して判定します。

---

4. 設計での判定方法（実務フロー）

手順① 応力を個別に計算

• 曲げ応力 σ
• ねじり応力 τ

手順② 合成応力を計算

$$\sigma_e = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2}$$σe​=σ2+3τ2​

手順③ 許容応力と比較

$$\sigma_e \le \frac{\sigma_B}{n}$$σe​≤nσB​​

• $\sigma_B$σB​：引張強さ
• $n$n：安全率（2～3以上が一般的）

---

5. 例題（イメージ）

• 曲げ応力：σ = 80 MPa
• ねじり応力：τ = 40 MPa

$$\sigma_e = \sqrt{80^2 + 3 \times 40^2} = \sqrt{6400 + 4800} = \sqrt{11200} \approx 106 \text{ MPa}$$σe​=802+3×402​=6400+4800​=11200​≈106 MPa

👉 単純加算（80+40=120）ではない点が重要

---

6. 設計現場でよくあるトラブル事例

① 曲げのみ評価 → 折損

• 動力軸でねじりを無視
• 起動・停止時トルクを考慮していない

② キー溝・段差で応力集中

• 合成応力 × 応力集中係数
• 計算値より実応力が大幅に増加

③ 疲労破壊

• 最大応力のみ評価
• 応力振幅・繰返しを無視

---

7. 実務設計のチェックポイント

✅ 最大トルク（起動・異常時）を使う
✅ 曲げ＋ねじりは 必ず合成応力で評価
✅ キー溝・段差・はめあい部は要注意
✅ 疲労が絡む場合は SN 曲線を確認

---

8. Excelツールを使うと一気に楽になる

手計算はミスが出やすく、
設計レビューや報告書にも不向きです。

👉 Excel自動計算ツールを使えば

• 入力 → 自動で σ・τ・σe 算出
• OK / NG 判定
• 設計報告書への転記も簡単

---

まとめ

• 実際の軸は 曲げ＋ねじりが同時に作用
• 合成応力（ミーゼス応力）で評価するのが必須
• 個別にOKでも「合成NG」はよくある
• Excelツールでの自動計算が実務向き

曲げ＋ねじり合成応力（ミーゼス）まで連動して、OK/NG判定＋必要最小軸径まで自動算出できる Excel

• ✅ 曲げ応力 σ
• ✅ ねじり応力 τ
• ✅ 合成応力（ミーゼス）σe
• ✅ OK / NG 判定（σe ≤ σy/n）
• ✅ 必要最小軸径 d_req（中実円軸）

こちらからダウンロードできます：
bending_torsion_vonmises_tool

曲げ＋ねじり設計ミス事例集

― 軸設計で“よくある失敗”と正しい設計判断 ―

回転軸・シャフト設計において、曲げとねじりを同時に受ける状態は非常に一般的です。
しかし実務では、どちらか一方しか評価せず、想定外の破損・変形トラブルにつながるケースが後を絶ちません。

本記事では、実際の設計現場で頻発するミス事例を通して、

• なぜ失敗したのか
• どこを見落としたのか
• どうすれば防げたのか

を、設計者目線で解説します。

---

事例①：曲げ応力だけで設計 → 軸が突然折損

■ 事象

• 使用中に軸がねじれるように破断
• 破断面は45°方向（せん断破壊）

■ 設計時の判断

• 曲げモーメントから曲げ応力 σ のみ評価
• ねじりトルクは「小さいから問題ない」と判断

■ 問題点

• 曲げ＋ねじりの合成応力（ミーゼス応力）を未評価
• 実際の最大応力は単独評価より大きかった

■ 正しい考え方

合成応力は次式で評価すべき：$$\sigma_e = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2}$$σe​=σ2+3τ2​

→ ねじりが小さくても無視してはいけない

---

事例②：静的強度OK → 疲労破壊が早期発生

■ 事象

• 数万回の運転で軸が破断
• 最大応力は許容値以下だった

■ 設計時の判断

• 最大応力（σe）だけで安全率を判断
• 繰返し荷重を深く考慮しなかった

■ 問題点

• 応力振幅・平均応力を未評価
• 曲げ＋ねじりの繰返しが疲労を加速

■ 正しい考え方

• SN曲線による疲労設計
• 特に回転軸では疲労が支配的

---

事例③：キー溝を無視 → 断面欠損で破断

■ 事象

• キー溝部から破断
• 設計計算では余裕があったはず

■ 設計時の判断

• 軸径を「中実円」として計算
• キー溝の影響を考慮しなかった

■ 問題点

• 実際の断面係数・極断面係数が低下
• 応力集中係数 Kt を無視

■ 正しい考え方

• キー溝あり → 有効断面で再計算
• 必要に応じて軸径アップ or フィレット追加

---

事例④：中空軸で軽量化 → 剛性不足・過大たわみ

■ 事象

• 振動増大、異音発生
• 軸自体は破断していない

■ 設計時の判断

• 強度計算（σe）はOK
• 軽量化目的で中空化

■ 問題点

• たわみ（剛性）評価をしていない
• 断面二次モーメント I が大幅低下

■ 正しい考え方

• 強度と剛性は別物
• 曲げたわみ計算も必須

---

事例⑤：起動トルクを見落とし → 想定外のNG判定

■ 事象

• 通常運転は問題なし
• 起動時に破損

■ 設計時の判断

• 定常トルクのみを使用
• 起動・停止条件を考慮しなかった

■ 問題点

• 起動トルクは定常の2〜3倍以上になることも

■ 正しい考え方

• 最大トルク条件で設計
• 特にモータ直結軸は要注意

---

事例⑥：安全率の意味を誤解 → 過信設計

■ 事象

• 「安全率3だから大丈夫」のはずが破損

■ 設計時の判断

• 曲げ応力だけに安全率をかけた

■ 問題点

• 合成応力に対する安全率ではない
• 評価対象が間違っている

■ 正しい考え方

• 安全率は“評価対象”が正しくて初めて意味を持つ
• σe ≤ σy / n で判断

---

設計ミスを防ぐためのチェックリスト（要点）

• □ 曲げ＋ねじりを必ず合成応力で評価
• □ 起動・非常時トルクを含めているか
• □ キー溝・段差の断面欠損を考慮したか
• □ 疲労（繰返し）を見ているか
• □ 強度だけでなく剛性（たわみ）も評価したか

---

実務では「自動計算ツール」が最強の防止策

今回の記事と連動した Excel自動計算ツール では、

• 曲げ応力
• ねじり応力
• 合成応力（ミーゼス）
• OK / NG 判定
• 必要最小軸径

を 入力するだけで自動算出 できます。

👉「考え漏れ」を仕組みで防ぐことが、設計品質向上への最短ルートです。

曲げ＋ねじり合成応力（ミーゼス）まで連動して、OK/NG判定＋必要最小軸径まで自動算出できる Excel

• ✅ 曲げ応力 σ
• ✅ ねじり応力 τ
• ✅ 合成応力（ミーゼス）σe
• ✅ OK / NG 判定（σe ≤ σy/n）
• ✅ 必要最小軸径 d_req（中実円軸）

こちらからダウンロードできます：
bending_torsion_vonmises_tool