曲げ応力の求め方を完全解説｜断面二次モーメント一覧・合成応力計算・設計トラブル事例付き

機械設計において「曲げ応力」は、シャフト・フレーム・ブラケット・アーム部品など、破損トラブルの多くに直結する重要項目です。
本記事では、

曲げ応力の基本式
断面二次モーメントの意味と使い方
よく使う断面形状の I 値
実務レベルの計算例（例題）

を 設計現場で使える視点で解説します。

1. 曲げ応力とは何か？
2. 曲げ応力の基本式
1. 各記号の意味
3. 断面二次モーメントとは？
1. ● 定義
4. よく使う断面の断面二次モーメント
5. 曲げモーメント M の求め方（基本）
6. 【例題】シャフトの曲げ応力を求める
7. 実務での注意ポイント
8. まとめ（設計者向け要点）
📘 作成完了ファイル一覧（すぐ使えます）
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1. 曲げ応力とは何か？

曲げ応力とは、部材に曲げモーメントが作用したときに発生する応力です。

上側：引張応力
下側：圧縮応力
中立軸：応力 0

という分布になります。

👉 破断・疲労・塑性変形の多くは、最大曲げ応力部から始まります。

2. 曲げ応力の基本式

曲げ応力は次の式で求めます。 $\boxed{ \sigma = \frac{M \cdot y}{I} }$ σ=IM⋅y

各記号の意味

記号	意味
σ	曲げ応力 [MPa]
M	曲げモーメント [N·mm]
y	中立軸からの距離 [mm]
I	断面二次モーメント [mm⁴]

👉 最大曲げ応力は $y = \text{断面の最外縁}$ y=断面の最外縁

を代入したときに発生します。

3. 断面二次モーメントとは？

● 定義

断面二次モーメント I とは、

「断面が曲げにどれだけ強いか」を表す幾何学的な指標

です。

材料には依存しない
形状だけで決まる
値が大きいほど「曲げに強い」

という性質があります。

4. よく使う断面の断面二次モーメント

① 矩形断面（幅 b × 高さ h）

$\boxed{ I = \frac{b h^3}{12} }$ I=12bh3

👉 高さ h の影響が 3 乗
→ 向きを90°変えるだけで曲げ強度が激変します。

② 円形断面（直径 d）

$\boxed{ I = \frac{\pi d^4}{64} }$ I=64πd4

👉 シャフト設計で最頻出
👉 直径が少し増えるだけで I は大きく増加

③ 中空円断面（外径 D・内径 d）

$\boxed{ I = \frac{\pi (D^4 – d^4)}{64} }$ I=64π(D4−d4)

👉 軽量化＋剛性確保に有効
👉 中実よりも効率が良い設計が可能

5. 曲げモーメント M の求め方（基本）

例として「片持ち梁・先端集中荷重」を考えます。

荷重：F [N]
梁長さ：L [mm]

最大曲げモーメントは固定端で $\boxed{ M = F \cdot L }$ M=F⋅L

6. 【例題】シャフトの曲げ応力を求める

条件

シャフト直径：d = 20 mm
荷重：F = 500 N
支点から荷重点までの距離：L = 200 mm
材料：S45C（降伏応力約 355 MPa）

① 曲げモーメント

$M = F \cdot L = 500 \times 200 = 100{,}000 \text{ N·mm}$ M=F⋅L=500×200=100,000 N\cdotpmm

② 断面二次モーメント

$I = \frac{\pi d^4}{64} = \frac{\pi \times 20^4}{64} \approx 7{,}854 \text{ mm}^4$ I=64πd4=64π×204≈7,854 mm4

③ y（最外縁）

$y = \frac{d}{2} = 10 \text{ mm}$ y=2d=10 mm

④ 曲げ応力

$\sigma = \frac{M \cdot y}{I} = \frac{100{,}000 \times 10}{7{,}854} \approx 127 \text{ MPa}$ σ=IM⋅y=7,854100,000×10≈127 MPa

⑤ 評価

降伏応力：355 MPa
発生応力：127 MPa

👉 静的には安全（安全率 ≈ 2.8）

※ 実務では

疲労
応力集中
荷重変動

も必ず考慮します。

7. 実務での注意ポイント

✔ 応力集中を忘れない

キー溝・段付き・穴 → 実応力は 1.5～3倍 になることも。

✔ 疲労設計が重要

回転シャフト・繰返し荷重では
👉 許容応力 ≪ 静的強度

✔ 曲げ＋ねじりの合成

シャフトでは

曲げ応力
ねじり応力

を **合成応力（ミーゼス応力など）**で評価する。

8. まとめ（設計者向け要点）

曲げ応力： $\sigma = \frac{M y}{I}$ σ=IMy
断面二次モーメント I が設計のカギ
高さ・直径は「4乗・3乗」で効く
実務では 疲労・応力集中・合成応力まで見る

📘 作成完了ファイル一覧（すぐ使えます）

① 断面二次モーメント一覧表（PDF）

主要断面の I（断面二次モーメント）式を一覧化
設計計算・資料添付・教育用途にそのまま使用可能です。

👉 ダウンロード
section_moment_of_inertia_table

② 曲げ＋ねじり合成応力自動計算 Excel

ミーゼス相当応力まで自動計算できる設計用シートです。

曲げモーメント M
ねじりモーメント T
断面係数 Z
極断面係数 Zp
→ 合成応力 σe を即算出

👉 ダウンロード

bending_torsion_stress_calc.xlsx

合成応力計算

※ 設計変更時・レビュー時に非常に重宝します

③ 設計トラブル事例集（PDF）

現場で本当に多い失敗を 原因 → 対策 で整理しています。

シャフト折損（曲げのみ設計）
たわみ過大（I不足）
疲労破壊（応力振幅未考慮）

👉 ダウンロード
design_trouble_cases.pdf